EYE IN THE SKY. LA VERDAD CIENTÍFICA SOBRE LOS JUEGOS DE AZAR.


 

 

 

 

 

 

 LA GUÍA CIENTÍFICA DEL JUGADOR PROFESIONAL.

[Métodos Científicos contra el Azar.]
[Análisis Estadístico de Juegos de Azar.]

[Teoría de los Juegos y Estrategia.]
[Cálculo del Riesgo Económico.]
[Cálculo de Probabilidades.]
[Funcionamiento de Tragamonedas.]

 

CÁLCULO DEL VALOR ESPERADO Y CÓMO BENEFICIA A LA BANCA EN LOS JUEGOS DE AZAR.

La Fórmula para calcular el Valor Esperado en los Juegos de Azar:

Desde el siglo XVII las Bancas de todo el mundo son expertas en diseñar juegos de azar en los que según las reglas el Valor Esperado (Expected Value) es siempre negativo para el apostador pero positivo para la Banca, para lo cual lo único que tienen que hacer es jugar con las probabilidades y con el monto de los premios ofrecidos frente al monto de las apuestas colocadas, lo cual es muy fácil de hacer.

Por ejemplo, una Banca podría plantear un nuevo juego de azar con Ventaja Matemática (House Edge) a su favor basado en el lanzamiento de un solo dado bajo las siguientes reglas: se lanza el dado y cada vez que aparezca el 1, 2, 3, 4 ó 5 el apostador gana una moneda que le será pagada por la Banca; pero si al lanzar el dado aparece como resultado el número 6, entonces el apostador deberá pagarle 6 monedas de su bolsillo a la Banca. El apostador seguramente a primera vista percibe que en este juego tiene a su favor más probabilidades de ganar que la Banca, pues en cada lanzamiento del dado cuenta con 5 opciones posibles para ganar una moneda, opciones las cuales tienen una probabilidad del 83,33% (5×1/6 = 0,8333, que pasado a porcentajes es: 0,8333×100 = 83,33%), mientras que la Banca para ganar las seis monedas en cada lanzamiento del dado sólo tiene a su favor una opción posible que consiste en la aparición del número 6, opción la cual tiene una probabilidad baja equivalente a 16,66% (1×1/6 = 0,1666, que pasado a porcentajes es: 0,1666×100 = 16,666%).

Sin embargo, este juego de azar tan simple que es jugado con un solo dado, al ser analizado desde la óptica probabilista esconde una real Ventaja Matemática que a la larga le permite a la Banca lograr la acumulación de dinero, especialmente entre más veces se lance el dado de forma masiva contra varios apostadores. Esta ventaja matemática surge de las reglas especiales que rigen la marcha del juego, las cuales introducen a favor de la Banca una desproporción anticipadamente previsible entre el monto del dinero que la Banca deberá entregar en premios y el monto del dinero que recibirá como pérdidas acumuladas de los numerosos apostadores que participen en dicho juego, lo cual equivale a que hay un Expected Value Negativo sobre el dinero de los jugadores desde el mismo momento en que es apostado en la mesa de juego.

En efecto, para probar mediante números lo anterior, es necesario calcular el Valor Esperado (expresado como Expected Value = EV) de las apuestas colocadas en este juego, concepto que en este caso no debe ser confundido con el de Esperanza Matemática ya explicado que consiste en el cálculo del Promedio de los resultados posibles que pueden aparecer en un juego de azar, sino que ahora el concepto de Valor Esperado debe ser entendido como el cálculo del riesgo probabilista que se espera correrá el dinero desde el mismo momento en que es apostado frente al valor final que se aspira alcanzar ante los premios ofrecidos en un juego de azar, atendiendo siempre a las reales probabilidades que existen tanto para ganar los premios ofrecidos como para perder el dinero apostado en cada jugada.

Así fue como ese concepto fue analizado y entendido por primera vez por Christiaan Huygens como ya se dijo en la sección anterior de esta obra, quien concluyó que cuando un juego de azar ofrece condiciones de Equilibrio Equitativo sobre las apuestas de los contrincantes, entonces al calcular el Valor Esperado el resultado siempre deberá ser cero (EV = 0), lo que indica que en ese juego no existe Ventaja Matemática a favor ni en contra de alguno de los participantes. Por el contrario, si el juego de azar tiene una Ventaja Matemática a favor de la Banca, entonces el Valor Esperado (Expected Value) arrojará un resultado negativo menor a cero (EV < 0), y si la ventaja matemática es a favor del apostador entonces el Expected Value tendrá un valor positivo mayor a cero (EV > 0). Entre más significativo sea el valor del Expected Value existente sobre cero o bajo cero, entonces del mismo modo es mayor la ventaja matemática a favor o en contra de un participante del juego.

De este modo, en el caso del hipotético juego basado en el lanzamiento de un dado, cuyas reglas he explicado arriba, se observa que el apostador tiene a su favor 5 opciones para ganar una moneda (+1) al lanzar el dado cuando aparezcan el 1, 2, 3, 4 ó 5, correspondiéndole una probabilidad a su favor de 5/6, contra una opción de perder 6 monedas (−6) en el evento de que al lanzar el dado aparezca el número 6 que favorece a la Banca, opción desfavorable la cual tan sólo tiene una probabilidad de 1/6, y para calcular el Valor Esperado (Expected Value = EV) de este juego se debe aplicar la siguiente fórmula matemática:

EV  =

(

Dinero a Perder

×

Probabilidad de Perder

)

+

(

Dinero a Ganar

×

Probabilidad de Ganar

)

 

EV  = 

(

−6

×

1

)

+

(

1

×

5

)

 

6

 

6

 

EV  =

(−6 × 0,1666)

+

(1 × 0,8333)

 

EV  =

−0,9999

+

0,8333

 

EV  =

−0,1666

Este Valor Esperado Negativo obtenido, es decir, EV = −0,1666 (que expresado en porcentajes equivale a: −0,1666×100 = −16,666%), indica que en este juego existe una clara Ventaja Matemática a favor de la Banca y en contra del apostador (pues el Expected Value es menor a cero), la cual desde la óptica probabilista equivale a como si el apostador pusiera anticipadamente en poder de la Banca un 16,666% de una moneda de su bolsillo cada vez que participa en el lanzamiento del dado, aún antes de que aparezca el resultado aleatorio del juego. En otras palabras, el «negocio» en el que está participando el apostador consiste en que en cada jugada realmente apuesta contra la Banca 6 monedas de su bolsillo a cambio de tener un 83,33% de probabilidades de ganarle una sola moneda a la Banca en esa jugada, con la particularidad de que hablando en términos probabilistas un 16,666% del valor de una de las 6 monedas en poder del jugador está contabilizada como si ya hubiera ingresado en el bolsillo de la Banca, lo cual efectivamente puede terminar por ocurrir entre más veces el apostador arriesgue su dinero bajo estas condiciones inequitativas.

En efecto, si suponemos que este juego de azar se comporta dentro de un ideal Estado de Equilibrio Perfecto, en el cual rige la uniformidad en la aparición de los resultados, en el cual en 6 lanzamientos del dado cada uno de sus seis lados aparece de acuerdo a su respectiva probabilidad individual (P = 1/6, es decir, una vez en cada 6 lanzamientos), distribuyéndose los resultados de manera homogénea y sin incurrir en repeticiones o desviaciones, entonces es evidente que bajo tales condiciones ideales un apostador que juegue seis veces consecutivas contra el casino terminará arriesgando en cada lanzamiento el equivalente a un 16,666% del valor de una moneda durante las 6 ocasiones, y al concluir los seis lanzamientos del dado la acumulación de ese porcentaje arriesgado se concretará en la pérdida efectiva del 100% de una moneda a favor de la Banca (6 monedas × 16,666% = 100%, equivalente a perder 1 moneda), todo lo cual se observa mejor en la siguiente tabla que muestra detalladamente el comportamiento del juego cuando ocurre bajo esas condiciones matemáticas ideales:

No. de tiro del dado:

Resultado

aparecido

 en el dado:

Probabilidad

individual de aparición:

Efecto económico del resultado aparecido en el bolsillo del apostador:

 

Efecto económico del resultado aparecido en el bolsillo de la Banca:

Porcentaje arriesgado de una moneda en cada tiro del dado

(Expected Value):

Efecto:

Acumulado:

Efecto:

Acumulado:

1

1/6

Gana 1 moneda

+1

Pierde 1 moneda

–1

16,666%

2

1/6

Gana 1 moneda

+2

Pierde 1 moneda

–2

16,666%

3

1/6

Gana 1 moneda

+3

Pierde 1 moneda

–3

16,666%

4

1/6

Gana 1 moneda

+4

Pierde 1 moneda

–4

16,666%

5

1/6

Gana 1 moneda

+5

Pierde 1 moneda

–5

16,666%

6

1/6

Pierde  6 monedas

–6 

Gana  6 monedas

+6

16,666%

 

TOTAL:  Saldo en Rojo –1

TOTAL: Saldo Positivo +1

Total:     –100%

Si este juego perdurase eternamente bajo las mismas condiciones ideales del Estado de Equilibrio Perfecto y de homogeneidad en la aparición de los resultados aleatorios del dado, entonces inevitablemente en cada tanda de seis lanzamientos del dado aparecerá como resultado el número 6, y por consiguiente la Banca terminará no sólo recuperando las 5 monedas que previamente le pagó como premio al apostador, sino que además sobre esa suma ganará una moneda del bolsillo del apostador por la aparición del número 6 en el dado. Es evidente que en cada lanzamiento del dado el apostador desde la óptica probabilista ya debería dar por perdido un 16,666% de una moneda de su bolsillo por causa del Valor Esperado Negativo que afecta cada moneda apostada, y por eso a la larga cada 6 lanzamientos del dado se termina acumulando el 100% de una moneda que va a parar en el saldo positivo de la Banca (+1), lo cual simultáneamente representa un saldo en rojo para el bolsillo del apostador (−1).

Administración a favor de la Banca del Valor Esperado en los Juegos de Azar:

Por supuesto, hay que recordar que los juegos de azar que transcurren en el mundo real no siempre se comportan produciendo los mismos resultados aleatorios que han sido previstos por ideales modelos matemáticos de probabilidad que transcurren en hipotéticos universos perfectos, es decir, si el anterior juego del dado ocurriera en una mesa real de cuatro patas, entonces quizá se observará que no necesariamente cada número del dado aparece una sola vez en una tanda de seis lanzamientos, ni tampoco el número 6 aparecerá exactamente cada seis lanzamientos del dado, y tal vez un solo número del dado se repetirá más veces mientras que otros números no aparecerán sino después de muchos lanzamientos. Conociendo que éste es el verdadero comportamiento de los juegos de azar que transcurren en el mundo real, cabe preguntar: ¿Cómo puede el Valor Esperado establecido mediante las reglas de un juego de azar garantizar una verdadera Ventaja Matemática y la efectiva acumulación de dinero a favor de la Banca?.

Al respecto muchos matemáticos y expertos en estadística reconocen que en verdad cuando en el mundo real un dado se lanza unas cuantas veces sobre una mesa, a «corto plazo» se observará que algunos números de las seis caras del dado aparecen muy poco o ni siquiera aparecen, mientras que otros números pueden llegar a aparecer más veces de las previstas por encima de su propia probabilidad individual de ocurrencia (que es de 1/6). Sin embargo, si no existe ninguna influencia físico-mecánica conocida que altere notoriamente y de manera permanente el comportamiento normal del dado, entonces a «largo plazo» lo que debe ocurrir es que al hacer miles y miles de lanzamientos del dado, cada uno de sus seis números debe tender a aparecer casi una misma cantidad de veces, aproximándose así al comportamiento homogéneo y uniforme previsto por el modelo matemático del Estado de Equilibrio Perfecto. Estos expertos también afirman que debido a la Ley de los Grandes Números aplicable a la Frecuencia de aparición de un resultado, entre más lanzamientos se hagan del dado se observará a largo plazo que los seis números de sus caras tenderán a aparecer casi con una misma Frecuencia Relativa, aproximándose cada vez más al estado de Regularidad Estadística en el cual los seis números del dado aparecen casi una misma cantidad de veces dentro del total de lanzamientos que conforman la Muestra Estadística analizada.

Otros expertos matemáticos, basados en el Teorema del Límite Central y tomando como modelo la Distribución Normal de la Probabilidad (representada mediante la denominada «Campana de Gauss»), afirman que en la Naturaleza cuando se repite miles y miles de veces un experimento de resultados aleatorios, como lo es el lanzamiento de un dado, entonces si no existe ninguna influencia extraña sobre el comportamiento del experimento, se deberá observar que los promedios de los resultados que van apareciendo se van agrupando y aproximando en torno de un valor central, lo que significa que en el caso del lanzamiento consecutivo del dado a la larga sus seis números que conforman las seis posibles opciones aleatorias que puede arrojar este experimento tenderán a aparecer casi la misma cantidad de veces dentro del total de lanzamientos que conforman la muestra analizada.

Si todo lo anterior tiende a ocurrir efectivamente en el mundo real, entonces la Banca para obtener ganancias a partir de la Ventaja Matemática establecida mediante las reglas del juego que venimos analizando, lo único que tiene que hacer es calcular anticipadamente su intervención en ese juego con base en los promedios y en el número de veces que matemáticamente se espera que aparezca el número 6 del dado en cierta cantidad de lanzamientos, presuponiendo siempre que el comportamiento a largo plazo del referido juego generalmente tenderá hacia la Regularidad Estadística en los términos antes explicados. Es decir, lo único que la Banca tiene que hacer es «saber administrar» su Ventaja Matemática presuponiendo los escenarios favorables en los que la marcha del juego tiende hacia la Regularidad Estadística y presuponiendo los escenarios desfavorables en los que la marcha del juego se aleja de la Regularidad Estadística en detrimento económico de la Banca.

Por ejemplo, si en el juego que hemos venido comentado la Banca presupone que dentro de 6.000 lanzamientos del dado cada uno de los seis números de sus caras deberá tener casi la misma Frecuencia Absoluta y la misma Frecuencia Relativa, apareciendo aproximadamente 1.000 veces cada número con una clara tendencia hacia la Regularidad Estadística, eso entonces significa que el número 6 del dado de acuerdo a su respectiva probabilidad individual deberá aparecer alrededor de unas 1.000 veces dentro de los 6.000 lanzamientos (P = 1/6×6.000 = 6.000/6 = 1.000) , y eso equivale a que con cada una de esas apariciones del número 6 la Banca gana 6 monedas según las reglas del juego, es decir, recupera 5 monedas que posiblemente pagó anteriormente como premio a los apostadores y además obtiene sobre ellos una moneda de ganancia, y por tanto en una muestra de 6.000 lanzamientos del dado se deberá observar que por las 1.000 apariciones del número 6 la Banca debe recuperar 5.000 monedas (1.000×5 = 5.000) y además obtener un total de 1.000 monedas adicionales como ganancias (1.000×1 = 1.000). El Valor Esperado de este juego expresado en porcentajes equivale a un 16,666% que la Banca mantiene a su favor como una sólida Ventaja Matemática sobre los apostadores, y ese valor no significa que el dado por arte de birlibirloque va a producir más resultados favorables a la Banca en desmedro de los apostadores, sino simplemente que de cualquier cantidad de jugadas ocurridas a favor de la Banca en condiciones de Regularidad Estadística, un 16,666% de esas jugadas constituyen la ganancia económica esperada de la Banca, es decir, de 100 apariciones del número 6 del dado en condiciones de Regularidad Estadística dentro de una muestra de 600 lanzamientos, por lo menos 16,666 de esas 100 apariciones representarán la ganancia de la Banca (16,666×6 monedas recibidas = 100 monedas ganadas), y del mismo modo de 1.000 apariciones del número 6 del dado en condiciones de Regularidad Estadística para una muestra de 6.000 lanzamientos, por lo menos 166,66 de esas 1.000 apariciones serán la ganancia esperada de la Banca (166,66×6 monedas recibidas = 1.000 monedas ganadas).

Esos son los valores matemáticos que la Banca establece como metas financieras para participar en este juego durante 6.000 lanzamientos consecutivos del dado, y esas metas necesariamente se cumplirán siempre y cuando la «simple aleatoriedad pura» impere en el juego arrojando resultados que tiendan hacia la Regularidad Estadística dentro de un hipotético Estado de Equilibrio Perfecto, es decir, la ganancia a favor de la Banca se logra concretar siempre que el juego transcurra sin influencias físico-mecánicas indebidas sobre el dado de tal manera que el número 6 en 6.000 lanzamientos tienda a aparecer el respectivo número de veces que corresponde a su probabilidad individual de aparición: P = 1/6×6.000 lanzamientos = 6.000/6 = 1.000 apariciones que deberían ocurrir del número 6 del dado.

Regularidad Estadística lanzamiento de un solo dado.

Como se observa en la anterior gráfica, si es cierto que en la Naturaleza el comportamiento de los experimentos aleatorios tiende a arrojar resultados que se acercan a las condiciones de la Regularidad Estadística, entonces en el juego del dado que hemos analizado lo único que necesita la Banca para lograr ganancias es esperar que esa regularidad se cumpla inexorablemente, es decir, la Banca sólo requiere que en 6.000 lanzamientos del dado cada uno de los seis números del dado según su probabilidad individual aparezca un total de veces que sea lo más próximo a 1.000: P = 1/6×6.000 lanzamientos = 6.000/6 = 1.000 apariciones por cada número del dado.

Influencia del Valor Esperado en Regularidad Estadística de un dado.

Como se observa en esta gráfica, aun cuando en el comportamiento aleatorio del juego impere la plena Regularidad Estadística para 6.000 lanzamientos del dado, es decir, que cada uno de los 6 números del dado aparezca 1.000 veces sin que ninguno aparezca más veces sobre los demás, es evidente que en tal situación ideal la Ventaja Matemática a favor de la Banca está garantizada por las reglas del juego que ocasionan un Valor Esperado Negativo sobre cada apuesta del jugador, y esto le permite a la Banca en 1.000 apariciones del número 6 obtener 5.000 monedas que equivalen a la cantidad que previamente puede haber pagado como premio a los apostadores ganadores por las 1.000 apariciones de cada uno de los otros 5 números del dado que los favorecen a ellos (1, 2, 3, 4 ó 5), pero además la Banca obtiene 1.000 monedas adicionales del bolsillo de los apostadores que constituyen su ganancia cristalizada con fundamento en el Valor Esperado.

Ventaja Matemática de la Banca en un juego de dado.

En el juego del dado que hemos analizado el efecto económico de la Ventaja Matemática a favor de la Banca se observa al comparar la cantidad de apariciones que tiene cada número del dado cuando impera la Regularidad Estadística en 6.000 lanzamientos, frente a la cantidad de monedas que reciben los apostadores y la Banca sobre la totalidad de apariciones de sus opciones favorables. Las 1.000 apariciones de cada uno de los números 1, 2, 3, 4 ó 5 del dado ocasionan que los apostadores reciban en premios 1.000 monedas de parte de la Banca para un total de 5.000 monedas entregadas, mientras que las 1.000 apariciones del número 6 del dado ocasionan que la Banca recaude de los apostadores el equivalente a 6.000 monedas, de las cuales 1.000 monedas representan su ganancia ocasionada por la ventaja matemática después de deducir el monto de los premios entregados: 6.000 monedas recibidas − 5.000 monedas entregadas en premios = 1.000 monedas de ganancia para la Banca.

Naturalmente, en este hipotético juego del dado que venimos comentando habrán días en que por causas físico-mecánicas totalmente desconocidas el número 6 del dado aparecerá más veces de lo normal, superando el margen normal de 1.000 apariciones previstas dentro de 6.000 lanzamientos, lo cual significa excelentes noticias para la Banca, porque entonces ya no sólo habrá ganado las 1.000 monedas que estaban previstas como «ganancia mínima» para un comportamiento normal del juego bajo la Regularidad Estadística, sino que también sus ingresos se habrán disparado hacia arriba en cada ocasión que el número 6 del dado apareció de más, porque así en cada una de esas ocasiones sobre su ganancia normal la Banca pudo captar 5 monedas adicionales que quizá previamente no tuvo que desembolsar como premio para los apostadores, debido a que una mayor aparición del número 6 dentro de 6.000 lanzamientos del dado equivale a que simultáneamente se reduce el total de veces que dentro de esos 6.000 lanzamientos aparecen los otros números del dado (1, 2, 3, 4 ó 5) con los cuales los apostadores ganan el premio ofrecido por la Banca. En efecto, supongamos que en una jornada gloriosa para la Banca se observa que en 6.000 lanzamientos del dado el número 6 apareció 1.050 veces, eso equivale a que los demás números del dado (1, 2, 3, 4 ó 5) que favorecen a los apostadores aparecieron en conjunto un total de 4.950 veces (4.950+1.050 = 6.000 lanzamientos), y al calcular el flujo del dinero que efectivamente circuló en este juego se obtiene que la Banca le canceló 4.950 monedas a los apostadores por las 4.950 ocasiones en que ellos ganaron, mientras que la Banca finalmente por las 1.050 apariciones del número 6 recibió en cada ocasión 6 monedas para un total de 6.300 monedas que perdieron los apostadores (1.050×6 = 6.300), es decir, la Banca dentro de esa suma recuperó las 4.950 monedas que había pagado como premios a los apostadores, además ganó las 1.000 monedas previstas por su Ventaja Matemática de 0,16666 a su favor sobre los 6.000 lanzamientos del dado, y por si fuera poco por ser ese su día de suerte obtuvo 350 monedas adicionales (4.950+1.000+350 = 6.300), todo lo cual ocurrió simplemente porque ese día el número 6 del dado en 6.000 lanzamientos extrañamente apareció 5% más veces sobre las 1.000 apariciones que estaban previstas alejándose por exceso del Estado de Equilibrio Perfecto. Y por supuesto, es fácil imaginar que a la Banca le irá mucho mejor económicamente aquellos días en que por causas desconocidas el número 6 del dado aparezca en exceso un 10% o un 15% más veces sobre las 1.000 apariciones previstas para 6.000 lanzamientos según el estado de Regularidad Estadística.

Pero no hay que olvidar que del mismo modo, debido a las incontrolables fluctuaciones en la aparición de los resultados aleatorios del juego, habrán días funestos en que por causas físico-mecánicas desconocidas el número 6 del dado en 6.000 lanzamientos aparecerá menos veces de lo normal, alejándose totalmente por defecto del margen esperado de 1.000 apariciones dentro de 6.000 lanzamientos del dado, y ciertamente esa situación desfavorable si no es atendida oportunamente puede conducir a la situación de «Ruina de la Banca» haciendo que pierda no sólo las 1.000 monedas que esperaba ganar con fundamento en su ventaja matemática, sino también las monedas pagadas previamente como premios a los apostadores que eventualmente no logra recuperar. Sin embargo, es de suponer que la Banca siempre estará cubierta contra este tipo de contingencias que forman parte de los «gajes de su negocio», pues estas «rachas de mala suerte» no son una situación sorpresiva o inesperada sino una situación matemáticamente previsible en el día a día de ese juego de azar.

Una Banca muy seria y profesional, que sabe que en este hipotético juego el número 6 del dado en 6.000 lanzamientos debería aparecer aproximadamente 1.000 veces, puede por anticipado imaginar, calcular y proyectar diversos escenarios pésimos donde no se logra alcanzar esa meta y así calcular la Esperanza Matemática, la Varianza, la Desviación Estándar y el Promedio esperado para esos escenarios pésimos, y de este modo, con cada lanzamiento del dado que en la práctica se realiza, la Banca puede advertir si la marcha del juego transcurre arrojando resultados dentro de los márgenes esperados que permitirán que el número 6 aparezca 1.000 veces dentro de los 6.000 lanzamientos, o si por el contrario, la marcha del juego peligrosamente está conduciendo hacia un escenario pésimo que implica pérdidas económicas para la Banca. En este hipotético juego es claro que la Banca coloca una reserva cercana a 5.000 monedas para entregar los premios que ganarán los apostadores bajo el supuesto de que los números 1, 2, 3, 4 ó 5 del dado aparecerán en conjunto 5.000 veces dentro de 6.000 lanzamientos, pero a la Banca le basta con que el número 6 del dado de acuerdo a su probabilidad individual aparezca 1.000 veces dentro de esos 6.000 lanzamientos para así no sólo recuperar de los apostadores las 5.000 monedas que les fueron pagadas como premios, sino también obtener de ellos 1.000 monedas adicionales como ganancia para la Banca. En contraste a esta situación normal del juego, los escenarios pésimos para la Banca pueden prever el cálculo de un límite máximo de «mala suerte» hasta el cual la Banca puede tolerar que el número 6 del dado aparezca menos veces de las 1.000 previstas dentro de 6.000 lanzamientos del dado. Así, si en 6.000 lanzamientos del dado el número 6 sólo apareciera 858 veces, eso equivaldría a que los demás números del dado (1, 2, 3, 4 ó 5) en conjunto aparecieron a favor de los apostadores un total de 5.142 veces (5.142+858 = 6.000), y por tanto bajo estas condiciones la Banca tuvo que pagarle a los apostadores 5.142 monedas en premios, y por cada una de las 858 apariciones del número 6 del dado la Banca recibió de los apostadores 6 monedas para un total de 5.148 monedas (858×6 = 5.148), es decir, en este escenario pésimo la Banca no pudo ganar las 1.000 monedas que esperaba obtener como ganancia con fundamento en su ventaja matemática, pero por lo menos logró recuperar las 5.142 monedas entregadas como premios a los apostadores. Este es el máximo límite de «mala suerte» que la Banca puede tolerar en este hipotético juego, pues si en 6.000 lanzamientos del dado el número 6 aparece una cantidad de veces inferior a 858 veces, entonces a partir de ese momento la Banca verdaderamente comienza a perder su dinero que será drenado como premios hacia los bolsillos de los apostadores. En efecto, si en 6.000 lanzamientos el número 6 del dado apareció sólo 857 veces, entonces eso significa que los demás números del dado aparecieron 5.143 veces, lo que equivale a que la Banca tuvo que pagar en premios 5.143 monedas y sólo recuperó 5.142 monedas por las 857 veces que apareció el número 6 del dado (857×6 = 5.142), es decir, en este caso la Banca termina con un saldo en rojo perdiendo una moneda de su bolsillo: −5.143 monedas entregadas en premios + 5.142 monedas ganadas = −1 moneda perdida.

El viejo Mito de Quebrar la Ventaja Matemática de la Banca:

La Banca en el hipotético juego del dado que venimos comentado sabe muy bien cuáles son las ganancias que puede esperar obtener en determinado número de lanzamientos del dado y también conoce los límites máximos de «mala suerte» que puede soportar a partir de los cuales ya comienza a incurrir en pérdidas económicas, y por tanto lo que la Banca necesita es no traspasar esos límites para no perder su dinero.

Es por ese motivo que en la historia de los casinos modernos apareció la figura del «Jefe de Foso» o del «Jefe de Piso» o del «Jefe de Mesas» o del «Supervisor Contable», personajes que se encargan de registrar la marcha financiera de las mesas de juego para determinar, minuto a minuto y jugada a jugada, si los resultados aleatorios aparecidos encajan dentro de las previsiones matemáticas del modelo teórico o se salen del comportamiento promedio esperado en detrimento económico de la Banca. Cuando el juego produce resultados que extrañamente se alejan de los promedios matemáticos esperados en detrimento económico de la Banca, entonces esos supervisores dan la voz de alarma y rápidamente se adoptan varias medidas urgentes para tratar de contrarrestar la situación negativa que podría conducir a la «Ruina de la Banca». Así, en el hipotético juego que venimos comentando una medida muy efectiva es establecer en cada mesa de juego un límite máximo de dinero que la Banca puede entregar en premios a los apostadores sobre un determinado número de lanzamientos del dado, límite que se basa en aquellos escenarios pésimos previamente calculados por la Banca en los cuales el número 6 del dado no está apareciendo con la frecuencia esperada a su favor, y por tanto cuando la marcha aleatoria del juego implica negativamente la entrega de premios cuyos montos llegan hasta ese límite máximo sin que ocurra en igual proporción la correspondiente acumulación de dinero a favor de la Banca, entonces los supervisores ordenan cerrar temporalmente el juego en esa mesa porque saben que si los resultados siguen apareciendo con esa misma tendencia negativa observada entonces comenzará a perder dinero la Banca.

En otras palabras, lo que el lector no debe perder de vista es que cuando se afirma que alguien logró «Hacer Saltar la Banca» o que «Quebró a la Banca» o que «Venció la Ventaja Matemática de la Banca», eso no significa necesariamente que la Banca perdió dinero o que su Ventaja Matemática fue vencida, y lo único que significa es que, debido a la marcha negativa en el comportamiento de un juego que supera las previsiones matemáticas, la Banca se vio obligada a clausurar temporalmente una mesa de juego, porque la entrega de los premios en esa mesa bajo esas condiciones llegó hasta el límite máximo previamente calculado, límite que en caso de ser traspasado sí haría incurrir a la Banca en verdaderas pérdidas económicas.

Desde ya es conveniente despejar todas las falsas ideas existentes sobre el mito de «Quebrar a la Banca», teniendo en cuenta lo que realmente significa esa idea frente a la forma como opera el Valor Esperado a favor de la Banca. En efecto, cuando la mayoría de la gente escucha que un jugador hizo «Saltar la Banca» o que «Quebró a la Banca», generalmente se tiende a creer que un hábil apostador en un juego de azar venció la Ventaja Matemática de la Banca y logró ganancias tan enormes, que literalmente el casino quedó sin ningún dinero en la caja y con un saldo rojo en sus ingresos diarios. Sin embargo, en verdad esa idea no es más que un «bello mito romántico», alentado constantemente por ciertas personas que quieren hacer creer que en este mundo aún existen héroes valerosos y humildes, al estilo Robin Hood, que mediante la agilidad, la astucia y la suerte logran realizar la hazaña de quitarle la bolsa con monedas de oro a los pudientes poderosos. La creencia de que es posible hacer saltar la Banca, o quebrar a la Banca, o arruinar al casino de Monte Carlo, o desbancar a todos los casinos de Las Vegas, o vencer la Ventaja Matemática, es el mito más lucrativo en la historia de los casinos porque es el que más apostadores ha llevado a las mesas de juego, ya que en el fondo muchos apostadores concurren a los casinos no sólo con la idea de salir de allí con los bolsillos llenos de mucho dinero, sino con la intención de salir viendo a la Banca arruinada, vencida, humillada en medio de la triste derrota, y a los crupieres asustados ante la incertidumbre de que quizá ese mes no podrán recibir su salario o su bonificación laboral, y sin embargo, al final casi siempre es el apostador el que sale del casino sin un céntimo en el bolsillo.

Quizá en el pasado muchas veces la Banca era quebrada y quedaba sin una moneda en la caja, digamos por allá en el siglo XVIII al surgir los primeros casinos modernos, cuando el famoso Giacomo Casanova (17251798) relata que ciertos dueños de casinos (Banqueros) eran muy descuidados con la marcha del juego de azar que administraban en una determinada mesa y no vigilaban los límites de su propia Ventaja Matemática, los cuales sobrepasaban de manera arriesgada y por consiguiente incurrían en pérdidas económicas innecesarias. Pero ya desde el siglo XIX se observa que las Bancas más serias y profesionales de todos los casinos modernos administran muy bien su propia Ventaja Matemática, y por eso establecen límites en el monto de las apuestas que se pueden aceptar y límites en el monto de los premios que se pueden entregar en cada mesa de juego dentro de determinado número de jugadas. Cuando durante una racha de «mala suerte» para la Banca la marcha del juego peligrosamente se aproxima a esos límites máximos, entonces simplemente se procede a clausurar de forma temporal esa mesa de juego antes de que se incurra en verdaderas pérdidas económicas. En la actualidad a eso se reduce la expresión «Quebrar a la Banca» o hacer «Saltar la Banca», que equivale a que una mesa de juego es clausurada temporalmente porque ha llegado a los límites máximos de premios que puede entregar en proporción a los ingresos que está recibiendo dentro de determinado número de jugadas realizadas, sin que eso necesariamente implique verdaderas pérdidas económicas para la Banca.

El sencillo juego con el dado que hemos tomado como un referente hipotético permite comprender fácilmente el funcionamiento de esta verdad irrefutable:

Regularidad Estadística lanzamiento de un solo dado.

Esta gráfica representa el comportamiento ideal del juego del dado que hemos comentado dentro de un estado de Regularidad Estadística, en el cual en 6.000 lanzamientos del dado cada uno de sus seis números aparece exactamente 1.000 veces, es decir, en 6.000 lanzamientos la frecuencia de aparición de cada número del dado corresponde a su probabilidad individual de ocurrencia que es de 1/6 (porque: 1/6×6.000 = 6.000/6 = 1.000).

Juego de dado aproximándose a la Regularidad Estadística.

Hay que recordar que en el mundo real las fluctuaciones en la aparición aleatoria de los resultados del dado ocasionan que rara vez la Regularidad Estadística ocurra de manera perfecta e ideal como se observó en la gráfica superior a ésta. Lo más probable es que ocurra una situación como la de la presente gráfica, en la cual en 6.000 lanzamientos del dado cada uno de sus seis números aparece rozando la cifra de 1.000 apariciones. Algunos de los seis números del dado aparecerán por encima de las 1.000 veces y otros lo harán por debajo de esa cantidad (lo cual concuerda con los límites de la Desviación Estándar). Ese es el comportamiento normal que se debe esperar del juego cuando se afirma que tiende hacia la Regularidad Estadística. Aún bajo un comportamiento fluctuante como el representado en esta gráfica, la Banca obtiene ganancias, porque los números del dado que favorecen a los apostadores (1, 2, 3, 4 ó 5) aparecieron un total de 5.070 veces, es decir, la Banca por cada una de esas apariciones tuvo que pagar como premio una moneda para un total de 5.070 monedas, mientras que el número 6 del dado sólo apareció 930 veces, es decir, cada una de esas apariciones representó 6 monedas de ingresos para la Banca para un total de 5.580 monedas (6×930 = 5.580). La Banca no sólo recuperó las 5.070 monedas que entregó en premios a los apostadores, sino que además obtuvo un porcentaje de la ganancia esperada correspondiente a su Ventaja Matemática en el juego. La ganancia para la Banca es evidente: −5.070 monedas entregadas en premios + 5.580 recibidas de los perdedores = 510 monedas de ganancia.

Ventaja Matemática de la Banca y Desviaciones del juego de azar.

Otras grandes fluctuaciones en el comportamiento del juego pueden ocasionar que en 6.000 lanzamientos del dado cada uno de sus seis números tienda a aproximarse a un total de 1.000 apariciones, pero puede existir cierto sesgo desconocido de origen físico-mecánico que opera sobre el comportamiento del dado ocasionando que uno de esos números aparezca más veces que todos los demás, como se muestra en la anterior gráfica donde el número 4 del dado apareció 1.255 veces superando su propia probabilidad individual de ocurrencia (1/6). Aún bajo un escenario tan fluctuante como éste la Banca sigue obteniendo ganancias. En efecto, los números que favorecen a los apostadores (1, 2, 3, 4 ó 5) aparecieron un total de 5.120 veces, es decir, la Banca por cada una de esas apariciones tuvo que pagar como premio una moneda para un total de 5.120 monedas, mientras que el número 6 del dado sólo apareció 880 veces dentro de los 6.000 lanzamientos, es decir, cada una de esas apariciones representó 6 monedas de ingresos para la Banca para un total de 5.280 monedas (6×880 = 5.280). En este caso la Banca no sólo recuperó las 5.120 monedas que entregó en premios a los apostadores, sino que además obtuvo un pequeño porcentaje de la ganancia esperada correspondiente a su Ventaja Matemática en el juego: −5.120 monedas entregadas en premios + 5.280 recibidas de los perdedores = 160 monedas de ganancia.

Ventaja Matemática de la Banca y Desviaciones del juego de azar.

Si las fluctuaciones en el comportamiento aleatorio del juego ocasionan que en 6.000 lanzamientos del dado tienda a aparecer más veces el número 6 sobre las 1.000 apariciones esperadas, eso incrementa enormemente las ganancias de la Banca. En un día de muy «buena suerte» para la Banca basta con que el número 6 del dado aparezca 5% más veces de lo normal sobre lo previsto según el estado de Regularidad Estadística [es decir: 6.000+(6.000×5/100) = 6.000+300 = 6.300], para que así la Banca incremente sus ganancias mínimas normales de 1.000 monedas hasta 1.350 monedas, ya que: −4.950 monedas pagadas en premios a los apostadores + 6.300 monedas recibidas de los perdedores = 1.350 monedas ganadas por la Banca.

Proyección de la Ventaja Matemática de la Banca.

Si la Banca sabe que en 6.000 lanzamientos del dado el número 6 debería aparecer 1.000 veces cuando el juego tiende hacia la Regularidad Estadística, entonces con fundamento en ese estimativo probabilista puede establecer el escenario «normal» que debería observarse en la marcha del juego en cada jornada. De este modo, como lo muestra la anterior gráfica, el escenario ideal presupone que en 1.000 lanzamientos del dado el número 6 debería aparecer por lo menos 166 veces, y en 2.000 lanzamientos debería aparecer 333 veces, y en 3.000 lanzamientos debería aproximarse a 499 veces, y en 4.000 lanzamientos el número 6 debería aparecer 666 veces, y en 5.000 lanzamientos debería llegar a 833 veces, y finalmente en los 6.000 lanzamientos debería aparecer 1.000 veces.

Proyección de la Ventaja Matemática de la Banca en juego de azar.

Cuando se dispone de un modelo ideal y teórico sobre el comportamiento normal del dado que se espera ocurra dentro de 6.000 lanzamientos, la Banca puede con fundamento en ese modelo realizar diversas proyecciones que permitirán identificar a tiempo el comportamiento anómalo del juego cuando peligrosamente se acerca a aquellos límites máximos permitidos a partir de los cuales la Banca puede comenzar a incurrir en pérdidas económicas. En la anterior gráfica los valores de color verde unidos por la línea de color lila representan un posible escenario pésimo en el cual la aparición del número 6 del dado tiende a alejarse por defecto del comportamiento normal esperado, lo cual implica que el número 6 está apareciendo menos veces de las previstas y eso a largo plazo puede ocasionar pérdidas económicas para la Banca. Cuando sobre la marcha del juego los Jefes de Foso o los Supervisores Contables establecen que el comportamiento aleatorio del juego de una mesa tiende a comportarse bajo una proyección negativa, entonces simplemente proceden a clausurar el juego en esa mesa antes de que produzca pérdidas económicas innecesarias para la Banca. No es necesario incurrir en pérdidas reales antes de dar la voz de alerta.

Límite máximo de una racha de mala suerte para la Banca.

Si en el hipotético juego del dado que venimos analizados la Banca atraviesa por una verdadera racha de muy «mala suerte», entonces la Banca sin necesidad de incurrir en pérdidas económicas puede tolerar que en su contra el número 6 aparezca hasta 14,2% menos veces de las previstas para el estado de Regularidad Estadística, es decir, la Banca puede soportar que el número 6 aparezca sólo 858 veces dentro de los 6.000 lanzamientos del dado en vez de aparecer las 1.000 veces previstas. Pero incluso bajo estas pésimas condiciones la Banca recupera cualquier suma que previamente haya entregado como premios a los apostadores como se observa en la anterior gráfica. Cuando los resultados del juego indican que su comportamiento global se aproxima a sobrepasar ese límite desastroso, entonces simplemente los Supervisores o Jefes de Foso proceden a ordenar el cambio del dado, o proceden a ordenar que la mesa en que cae el dado sea nuevamente nivelada, o disponen que el dado sea limpiado, o proceden a cambiar de crupier, todo para tratar de hacer desaparecer las extrañas y desconocidas causas físico-mecánicas que han ocasionado que el comportamiento del dado se aleje del promedio esperado, y finalmente, si todo lo anterior no funciona, entonces ordenan el cierre temporal del juego y quizá vuelvan a reiniciarlo mucho después esperando que esta vez las fluctuaciones aleatorias del dado sean favorables a la Banca. Bajo este sistema es prácticamente imposible que la Banca sea sorprendida e incurra en pérdidas económicas reales. La Banca conoce muy bien las metas financieras de los escenarios en los cuales obtiene ganancias y los límites de los escenarios negativos que la pueden conducir a la pérdida económica, y por eso al conocer esos límites la Banca siempre le gana dinero a todos los apostadores con fundamento en el comportamiento global del juego. En este caso la Banca no puede «predecir los resultados» de cada jugada que ocurre en el juego, pero sí es capaz de «predecir sus ganancias» con fundamento en el comportamiento global del juego y aprovechando el margen que le brinda la Ventaja Matemática establecida a su favor gracias al Valor Esperado Negativo que opera sobre cada moneda implícitamente apostada por los jugadores.

En síntesis, así como en este hipotético juego del dado la Banca realmente no sufre ninguna pérdida económica cuando se afirma que alguien logró «Hacer Saltar la Banca», del mismo modo a la Banca en este juego no le preocupa que un apostador pueda ganar los premios y amasar una fortuna llevándose el dinero a su casa. En efecto, un apostador afortunado podría ganar 5 monedas en cinco lanzamientos consecutivos del dado porque en esos tiros apareció cualquiera de los números del dado (el 1, 2, 3, 4 ó 5) que obligan a la Banca a pagar una moneda como premio, y ese apostador bien puede retirarse de la mesa y llevarse sus 5 monedas a un restaurante para pagar una cena. Sin embargo, detrás de ese apostador que se retiró con el premio llegará a jugar otro, y lo único que la Banca necesita es que en las futuras jugadas el número 6 del dado aparezca las veces previstas según la Regularidad Estadística, para así comenzar a recuperar las 5 monedas que previamente entregó como premio y obtener además una moneda adicional del bolsillo del nuevo apostador que se hizo presente. Por supuesto, en este caso la peor situación siempre es la de aquel apostador que logra ganarle unas monedas a la Banca y por no retirarse a tiempo termina perdiendo no sólo esas monedas ganadas, sino también otras monedas adicionales que traía en su bolsillo.

La Banca en este juego con fundamento en la Ventaja Matemática sabe que cada grupo de 5 monedas que entrega en premios tienen la matemática virtud de retornar trayendo consigo una moneda adicional como ganancia, siempre y cuando el comportamiento del juego tienda hacia la Regularidad Estadística. No importa cuántos apostadores ganen dinero y se lo lleven a su casa, no importa cuántos apostadores ganen dinero y nuevamente lo pierdan en el juego, lo único que interesa es que apostador tras apostador se hagan presentes en la mesa y participen en el juego hasta completar globalmente el número de lanzamientos del dado que requiere la Banca para obtener su ganancia que está sustentada en la ventaja matemática cuando el comportamiento del juego tiende hacia la Regularidad Estadística. En otras palabras, en este juego la Banca efectivamente entrega premios a los ganadores y es decisión de los apostadores afortunados retirarse oportunamente con el dinero ganado o quedarse para seguir apostando. Del mismo modo, la fluctuación aleatoria del juego puede ocasionar que algunas veces la Banca obtenga unos ingresos cuantiosos y que otras veces no pueda ni siquiera alcanzar la ganancia que está prevista por su ventaja matemática. Pero independientemente de lo anterior, lo cierto es que a partir de las «reglas especiales que rigen el juego» la Banca ha establecido un rentable flujo de dinero que circula hacia sus arcas, dinero que efectivamente fluirá sin importar los resultados aleatorios aparecidos en cada lanzamiento del dado, siempre y cuando globalmente el juego tienda hacia la Regularidad Estadística.

FUENTES DE CONSULTA:

BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets. 2006.

GROEBNER, D.; SHANNON, P.; FRY, P.; SMITH, K. Business statistics: a decision making approach. Prentice Hall, 6a edición.

HAEUSSLER, E.; PAUL, R.; WORD, R. J. Introductory mathematical analysis for business, economics and the life and social sciences. Prentice Hall.

KILBY, J. y FOX, J. Casino operations management. John Wiley & Sons, New York, 2005.

MARSHALL, Lincoln, y RUDD, Denis. Introduction to casino and gaming operations. 1996

THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976. 

TIJMS, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Expected Value; Gambling; Gaming Mathematics; House Edge; Probability Theory; Wagering Business. 

IR AL ÍNDICE

 

 

Copyright © 2005-2013, NELSON GARCÍA L. y EYE-IN-THE-SKY GROUP. Todos los derechos reservados.